Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupaka ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.
Syarat menotasikan Himpunan atau nama himpunan selalu menggunakan huruf kapital ( misalnya : A,B,C,.....) serta di apit dengan kurung kurawal { elemen himpun}
Menyatakan himpunan (F= format penulisan himpunan ) ada 2 cara untuk menyatakan himpunan :
-. menuliskan tiap-tiap anggota atau elemen himpunan di antara 2 kurung kurawal.
-. menuliskan sifat-sifat yang ada pada semua anggota himpunan diatara 2 kurung kurawal ( Notasi pembentukan himpunan )
Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram VentTeori Himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abat ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkanf.
MACAM-MACAM HIMPUNAN
1.Himpunan Berhingga
Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.
[sunting]Himpunan Tercacah
Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.
2.Himpunan kosong
Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.
Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai: Ø = {}
3.Himpunan tak terhingga
Himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga
Operasi Pada Himpunan
1.Gabungan (union) notasi : È
Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang menjadi anggota A atau menjadi anggota B.
A È B = { x | x Î A atau x Î B }
contoh:
A = {1,2,3}
B = {0,2,4}
Maka A È B = {0,1,2,3,4}
2.Irisan (intersection) notasi : Ç
Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B.
A Ç B = { x | x Î A dan x Î B }
contoh:
A={1,2,3,4}
B={3,4,5}
maka A Ç B = {3,4}
3.Selisih notasi : -
Selisih antara dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota A yang bukan anggota B.
A - B = { x | x Î A dan x Ï B }
contoh:
A = {1,2,3,4,5}
B = {2,4,6,7,10}
Maka A - B = {1,3,5}
4.Komplemen notasi: A', Ac, A
Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan S yang bukan anggota A.
A' = { x | x Î S dan x Ï A }
contoh:
S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A = {1,2,3,4,5}
Maka A' = {6,7,8,9,10}
ALJABAR HIMPUNAN
Pada pembahasan himpunan di kenal hukum-hukum aljabar himpunan . Jika : A,B,C adalah masing-masing himpunan bagian dari himpunan smestas Maka berlaku :
1.Hukum Idatity
A υ Ø = A ; A ∩ Ø = Ø A υ S = S ; A ∩ S = A
2. Hukum Komplemen
A υ AC = S ; A ∩ AC = Ø ( AC )C = A ; SC = Ø
3.Hukum Komutatif
A υ B = B υ A ; A ∩ B = B ∩ B
4. Hukum Asosiatif
( A υ B ) υ C = A υ ( B υ C ) ; ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
5. HUkum Idenpoten
A υ A = A A ∩ A = A
6.Hukum Distributif
A υ ( B ∩ C ) = ( A υ B ) ∩ ( B υ C ) A ∩ ( B υ C ) = ( A ∩ B ) υ ( B ∩ C )
7. Hukum Morgan
( A υ B )C = AC ∩ BC ( A ∩ B )C = AC υ BC
8.Hukum Absorbsi
A υ ( A ∩ B ) = A A ∩ ( A υ B ) = A
Hubungan Antar Himpunan
1.Himpunan bagian notasi : Ì atau É
Himpunan A adalah himupnan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota A adalah anggota B.
Ditulis : A Ì Bf atau B É A
contoh:
A={a,b}; B={a,b,c}; C={a,b,c,d}
maka A Ì B ; A Ì C ; B Ì C
ketentuan : himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang himpunan ( f Ì A )himpunan A adalah himpunan bagian dari himpunan A sendiri ( A Ì A)jika anggota himpunan A ada sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah HB = 2n
HB = 2n
contoh:
jika A = {a,b,c}
maka himpunan bagian dari A adalah :
{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan f
seluruhnya ada 2³ = 8
POWER SET 2s
himpunan yang elemennya adalah himpunan-himpunan bagian dari S
contoh:
S = {a,b,c}
2s = { {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, f }
2.Himpunan sama notasi : =
Dua himpunan A dan B adalah sama, jika setiap elemen A adalah elemen B, dan setiap elemen B adalah elemen A.
Ditulis A = B
contoh:
K = {x | x²-3x+2=0}
L = {2,1}
maka K = L
3. Himpunan lepas notasi : //
Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B.
Ditulis A // B
contoh:
A = {a,b,c}
B = {k,l,m}
Maka A // B
DAftar Pustaka:
http://free.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika
/0358%20Mat%201-1d.htm
http://free.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0357%20Mat%201-1c.htm
http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_(matematika)
http://elista.akprind.ac.id/upload/files/937_Bab_4_Himpun.pdf
Lanjut.....
Syarat menotasikan Himpunan atau nama himpunan selalu menggunakan huruf kapital ( misalnya : A,B,C,.....) serta di apit dengan kurung kurawal { elemen himpun}
Menyatakan himpunan (F= format penulisan himpunan ) ada 2 cara untuk menyatakan himpunan :
-. menuliskan tiap-tiap anggota atau elemen himpunan di antara 2 kurung kurawal.
-. menuliskan sifat-sifat yang ada pada semua anggota himpunan diatara 2 kurung kurawal ( Notasi pembentukan himpunan )
Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram VentTeori Himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abat ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkanf.
MACAM-MACAM HIMPUNAN
1.Himpunan Berhingga
Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.
[sunting]Himpunan Tercacah
Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.
2.Himpunan kosong
Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.
Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai: Ø = {}
3.Himpunan tak terhingga
Himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga
Operasi Pada Himpunan
1.Gabungan (union) notasi : È
Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang menjadi anggota A atau menjadi anggota B.
A È B = { x | x Î A atau x Î B }
contoh:
A = {1,2,3}
B = {0,2,4}
Maka A È B = {0,1,2,3,4}
2.Irisan (intersection) notasi : Ç
Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B.
A Ç B = { x | x Î A dan x Î B }
contoh:
A={1,2,3,4}
B={3,4,5}
maka A Ç B = {3,4}
3.Selisih notasi : -
Selisih antara dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota A yang bukan anggota B.
A - B = { x | x Î A dan x Ï B }
contoh:
A = {1,2,3,4,5}
B = {2,4,6,7,10}
Maka A - B = {1,3,5}
4.Komplemen notasi: A', Ac, A
Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan S yang bukan anggota A.
A' = { x | x Î S dan x Ï A }
contoh:
S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A = {1,2,3,4,5}
Maka A' = {6,7,8,9,10}
ALJABAR HIMPUNAN
Pada pembahasan himpunan di kenal hukum-hukum aljabar himpunan . Jika : A,B,C adalah masing-masing himpunan bagian dari himpunan smestas Maka berlaku :
1.Hukum Idatity
A υ Ø = A ; A ∩ Ø = Ø A υ S = S ; A ∩ S = A
2. Hukum Komplemen
A υ AC = S ; A ∩ AC = Ø ( AC )C = A ; SC = Ø
3.Hukum Komutatif
A υ B = B υ A ; A ∩ B = B ∩ B
4. Hukum Asosiatif
( A υ B ) υ C = A υ ( B υ C ) ; ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
5. HUkum Idenpoten
A υ A = A A ∩ A = A
6.Hukum Distributif
A υ ( B ∩ C ) = ( A υ B ) ∩ ( B υ C ) A ∩ ( B υ C ) = ( A ∩ B ) υ ( B ∩ C )
7. Hukum Morgan
( A υ B )C = AC ∩ BC ( A ∩ B )C = AC υ BC
8.Hukum Absorbsi
A υ ( A ∩ B ) = A A ∩ ( A υ B ) = A
Hubungan Antar Himpunan
1.Himpunan bagian notasi : Ì atau É
Himpunan A adalah himupnan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota A adalah anggota B.
Ditulis : A Ì Bf atau B É A
contoh:
A={a,b}; B={a,b,c}; C={a,b,c,d}
maka A Ì B ; A Ì C ; B Ì C
ketentuan : himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang himpunan ( f Ì A )himpunan A adalah himpunan bagian dari himpunan A sendiri ( A Ì A)jika anggota himpunan A ada sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah HB = 2n
HB = 2n
contoh:
jika A = {a,b,c}
maka himpunan bagian dari A adalah :
{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan f
seluruhnya ada 2³ = 8
POWER SET 2s
himpunan yang elemennya adalah himpunan-himpunan bagian dari S
contoh:
S = {a,b,c}
2s = { {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, f }
2.Himpunan sama notasi : =
Dua himpunan A dan B adalah sama, jika setiap elemen A adalah elemen B, dan setiap elemen B adalah elemen A.
Ditulis A = B
contoh:
K = {x | x²-3x+2=0}
L = {2,1}
maka K = L
3. Himpunan lepas notasi : //
Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B.
Ditulis A // B
contoh:
A = {a,b,c}
B = {k,l,m}
Maka A // B
DAftar Pustaka:
http://free.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika
/0358%20Mat%201-1d.htm
http://free.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0357%20Mat%201-1c.htm
http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_(matematika)
http://elista.akprind.ac.id/upload/files/937_Bab_4_Himpun.pdf
